Bei ersterem würde ich die Domain für E-Mail zu Gmail Business zügeln. Kostet zwar, aber dann funktioniert alles.
ich verstehe zwar nicht was das bedeutet, aber was extra zahlen kommt schon mal gar nicht in Frage. :-)
Ist für dich auch nicht relevant, da du keine eigene Domain registriert hast und diese somit nicht wegzügeln kannst.
mich würde vor allen Dingen erst mal interessieren was überhaupt das Problem ist:
Sind keinerlei GMail-Adressen erreichbar, oder nur diejenige deines Kollegen? Am besten wendest du dich an den Support von 1&1. Falls es an GMail liegt, wüsste ich jetzt nicht, ob die überhaupt eine Kontaktmöglichkeit bieten. Schon mal gegoogelt?